A-Level数学篇：斯皮尔曼等级相关分析

对于双变量相关性的研究在S1和S3中都有涉及，属于A-Level基础数学和进阶数学的必考题型，所以需要引起我们足够重视。在S1中，积矩相关系数（PMCC，r）作为双变量之间线性相关强度的度量，然而在相关性非线性的情况下，或者在非连续型数据的情况下，PMCC可能不是一个很好的测量两个变量之间相关性的方法。例如，假设一个茶叶制造商生产了许多不同的混合茶; 你可以品尝每一种混合物，并将混合物按最喜欢到最不喜欢的顺序排列。然而，排名是无法用一个连续的数字刻度来进行衡量的，那么在这种情况下，我们就需要使用斯皮尔曼等级相关系数（Spearman’s rank correlation coefficient）。

斯皮尔曼的等级相关系数用rs表示，它是PMCC的一种特殊情况，在计算系数之前先将数据转换为排名。那么在什么情况下我们可以用斯皮尔曼相关系数来替代PMCC呢？一共可以分成三类：

1.其中一个或两个数据组不是来自正态分布

2.其中一个或两个数据组已经代表排名

3.两个数据组之间存在非线性关系

只要满足其中任意一种，我们就可以认定使用斯皮尔曼等级相关系数而非PMCC。

斯皮尔曼等级相关系数的公式：

*注意：此公式只适用于no tied ranks

r_s取值范围在-1和1之间，若r_s=1，说明rankings are in perfect agreement；若r_s=-1，说明rankings are in exact reverse order；若r_s=0，说明there is no correlation between the rankings.

那什么情况说明是tied rank，以及若出现tied rank又应该如何来解题呢？

如果在对数据进行排名时，出现两个或两个以上的数据值相等，那么这些数据值就是tied rank。这个时候我们就无法再使用r_s，而需要用PMCC公式来解题，且相等的数据值应分配这些并列等级的平均值的等级。